کاربرگ ۱۰۵ – چگالی

الف) هر \(1\ \mathrm{g/cm^3}\) برابر \(1000\ \mathrm{kg/m^3}\) است، پس: \[\rho=\frac{22500}{1000}=22.5\ \mathrm{g/cm^3}\] همچنین \(1\ \mathrm{kg/m^3}=1\ \mathrm{g/L}\)، بنابراین: \[\rho=22500\ \mathrm{g/L}\] ب) از رابطه \(m=\rho V\) داریم: \[m=22.5\times50=1125\ \mathrm{g}=1.125\ \mathrm{kg}\] پ) از رابطه \(V=\frac{m}{\rho}\) داریم: \[V=\frac{4500\ \mathrm{g}}{22.5\ \mathrm{g/cm^3}}=200\ \mathrm{cm^3}=0.2\ \mathrm{L}\]

چگالی نفت از چگالی آب کمتر است: \[0.8\ \mathrm{g/cm^3}<1\ \mathrm{g/cm^3}\] بنابراین نفت روی آب شناور می‌ماند و اگر روی آتش نفت آب بریزیم، نفت شعله‌ور روی آب پخش می‌شود و آتش گسترش می‌یابد؛ پس برای خاموش کردن آن باید از روش‌های دیگر (مانند کف یا پودر) استفاده کرد. اما چگالی گلیسیرین از آب بیشتر است: \[1.3\ \mathrm{g/cm^3}>1\ \mathrm{g/cm^3}\] پس گلیسیرین زیر آب قرار می‌گیرد و آب می‌تواند آن را بپوشاند و آتش را خاموش کند. به همین دلیل آگاهی از منشأ آتش‌سوزی اهمیت دارد.

طبق صورت سؤال \(V_A=2V_B\) و \(m_A=3m_B\). از رابطه \(\rho=\frac{m}{V}\): \[\frac{\rho_B}{\rho_A}=\frac{m_B}{m_A}\times\frac{V_A}{V_B}=\frac{1}{3}\times2=\frac{2}{3}\]

از رابطه \(V=\frac{m}{\rho}\) داریم: \[\frac{V_B}{V_A}=\frac{m_B}{m_A}\times\frac{\rho_A}{\rho_B}=2\times4=8\] حجم کره از رابطه \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) به دست می‌آید، پس \(V\propto r^3\): \[\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^3=8\ \Rightarrow\ \frac{r_B}{r_A}=2\]

حجم کره \(B\): \[V_B=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\times3\times2^3=32\ \mathrm{cm^3}\] چگالی فلز \(B\): \[\rho_B=\frac{256}{32}=8\ \mathrm{g/cm^3}\] پس چگالی فلز \(A\) برابر است با: \[\rho_A=8+2=10\ \mathrm{g/cm^3}\] حجم مکعب به ضلع \(2\ \mathrm{cm}\) برابر \(2^3=8\ \mathrm{cm^3}\) است، بنابراین: \[m_A=\rho_A V=10\times8=80\ \mathrm{g}\]

چگالی گلوله \(7800\ \mathrm{kg/m^3}=7.8\ \mathrm{g/cm^3}\) است. حجم گلوله: \[V=\frac{m}{\rho}=\frac{3900}{7.8}=500\ \mathrm{cm^3}\] چون چگالی گلوله از الکل بیشتر است، گلوله کاملاً در الکل فرو می‌رود و حجمی از الکل برابر حجم گلوله از ظرف بیرون می‌ریزد. چگالی الکل \(800\ \mathrm{g/L}=0.8\ \mathrm{g/cm^3}\) است، پس: \[m_{alc}=0.8\times500=400\ \mathrm{g}\]

اگر جرم لیوان خالی \(m\) و حجم داخل آن \(V\) باشد: \[m+\rho_{w}V=425\] \[m+\rho_{oil}V=385\] با کم کردن دو رابطه (با \(\rho_w=1\ \mathrm{g/cm^3}\) و \(\rho_{oil}=0.8\ \mathrm{g/cm^3}\)): \[(1-0.8)V=40\ \Rightarrow\ V=200\ \mathrm{cm^3}\] در نتیجه: \[m=425-1\times200=225\ \mathrm{g}\]

چگالی یخ از آب کمتر است، یعنی یخ به ازای جرم یکسان حجم بیشتری دارد. چون حجم مخلوط افزایش یافته، بخشی از آب منجمد شده است. اگر جرم آبی که منجمد شده \(m\) باشد (با \(\rho_{ice}=0.9\ \mathrm{g/cm^3}\) و \(\rho_w=1\ \mathrm{g/cm^3}\)): \[\Delta V=V_{ice}-V_{w}=\frac{m}{0.9}-\frac{m}{1}=7\] \[m\left(\frac{10}{9}-1\right)=7\ \Rightarrow\ \frac{m}{9}=7\ \Rightarrow\ m=63\ \mathrm{g}\]

شیب نمودار \(m\)-\(V\) برابر چگالی است: \[\rho_A=\frac{18}{5}=3.6\ \mathrm{g/cm^3}\] \[\rho_B=\frac{6}{5}=1.2\ \mathrm{g/cm^3}\] نیم لیتر برابر \(500\ \mathrm{cm^3}\) است، پس جرم مایع \(A\): \[m=3.6\times500=1800\ \mathrm{g}\] حجم مایع \(B\) با همین جرم: \[V_B=\frac{1800}{1.2}=1500\ \mathrm{cm^3}\]

حجم مکعب: \[V=10^3=1000\ \mathrm{cm^3}\] اگر مکعب توپر بود، جرم آن می‌شد: \[m=\rho V=8\times1000=8000\ \mathrm{g}=8\ \mathrm{kg}\] اما جرم واقعی \(6\ \mathrm{kg}\) است که کمتر است، پس حفره وجود دارد. حجم فلز موجود در مکعب: \[V_{metal}=\frac{6000}{8}=750\ \mathrm{cm^3}\] حجم حفره: \[V_{cavity}=1000-750=250\ \mathrm{cm^3}\]

حجم کل کره: \[V=\frac{4}{3}\times3\times10^3=4000\ \mathrm{cm^3}\] چگالی فلز \(9000\ \mathrm{kg/m^3}=9\ \mathrm{g/cm^3}\) است، پس حجم فلز: \[V_{metal}=\frac{31500}{9}=3500\ \mathrm{cm^3}\] حجم حفره: \[V_{cavity}=4000-3500=500\ \mathrm{cm^3}\] \[\frac{4}{3}\times3\times r^3=500\ \Rightarrow\ 4r^3=500\ \Rightarrow\ r^3=125\ \Rightarrow\ r=5\ \mathrm{cm}\]

حجم استوانه \(A\): \[V_A=\pi R^2h\] حجم ماده استوانه توخالی \(B\): \[V_B=\pi\left(R^2-\frac{R^2}{9}\right)(2h)=\frac{16}{9}\pi R^2h\] چون جرم‌ها برابرند \(\rho_A V_A=\rho_B V_B\)، پس: \[\frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{V_B}{V_A}=\frac{16}{9}\]

با ایجاد حفره، ماده‌ای به حجم \(5\ \mathrm{cm^3}\) برداشته می‌شود و حجم کل کره تغییری نمی‌کند. چون حجم کل ثابت است و چگالی کره نصف می‌شود، جرم کره نیز نصف می‌شود: \[m'=\frac{100}{2}=50\ \mathrm{g}\] پس جرم ماده برداشته‌شده \(50\ \mathrm{g}\) است و حجم آن \(5\ \mathrm{cm^3}\) است: \[\rho=\frac{50}{5}=10\ \mathrm{g/cm^3}\]

حجم مکعب: \[V=20^3=8000\ \mathrm{cm^3}\] حجم فلز: \[V_{metal}=\frac{60000}{8}=7500\ \mathrm{cm^3}\] حجم حفره: \[V_{cavity}=8000-7500=500\ \mathrm{cm^3}\] با \(\rho_w=1\ \mathrm{g/cm^3}\)، جرم آب لازم: \[m_w=1\times500=500\ \mathrm{g}=0.5\ \mathrm{kg}\]

جرم کل پس از پر کردن حفره: \[m=60+0.5=60.5\ \mathrm{kg}=60500\ \mathrm{g}\] حجم کل همان حجم مکعب یعنی \(8000\ \mathrm{cm^3}\) است، پس: \[\rho=\frac{60500}{8000}=7.5625\ \mathrm{g/cm^3}\approx7562.5\ \mathrm{kg/m^3}\]

جرم هر فلز از رابطه \(m=\rho V\) به دست می‌آید: \[m_1=9\times2=18\ \mathrm{g}\] \[m_2=8\times3=24\ \mathrm{g}\] چگالی آلیاژ: \[\rho=\frac{m_1+m_2}{V_1+V_2}=\frac{42}{5}=8.4\ \mathrm{g/cm^3}=8400\ \mathrm{kg/m^3}\]

اگر حجم طلا \(V_1\) و حجم پالادیم \(V_2\) باشد: \[\rho=\frac{20V_1+12V_2}{V_1+V_2}=15\] \[20V_1+12V_2=15V_1+15V_2\ \Rightarrow\ 5V_1=3V_2\ \Rightarrow\ \frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{5}\] نسبت جرم‌ها: \[\frac{m_1}{m_2}=\frac{20V_1}{12V_2}=\frac{20}{12}\times\frac{3}{5}=1\]

اگر چگالی‌ها \(\rho_1\) و \(\rho_2\) باشند، برای حجم‌های یکسان: \[\frac{\rho_1+\rho_2}{2}=4\ \Rightarrow\ \rho_1+\rho_2=8\] برای جرم‌های یکسان \(m\): \[\rho=\frac{2m}{\frac{m}{\rho_1}+\frac{m}{\rho_2}}=\frac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}=3\] \[\frac{2\rho_1\rho_2}{8}=3\ \Rightarrow\ \rho_1\rho_2=12\] پس \(\rho_1\) و \(\rho_2\) ریشه‌های معادله زیر هستند: \[x^2-8x+12=0\ \Rightarrow\ (x-2)(x-6)=0\] بنابراین چگالی یکی از مایع‌ها \(2\ \mathrm{g/cm^3}\) و دیگری \(6\ \mathrm{g/cm^3}\) است.

برای حجم‌های یکسان: \[\rho_3=\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\] برای جرم‌های یکسان: \[\rho_4=\frac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}\] تفاضل آن‌ها: \[\rho_3-\rho_4=\frac{(\rho_1+\rho_2)^2-4\rho_1\rho_2}{2(\rho_1+\rho_2)}=\frac{(\rho_1-\rho_2)^2}{2(\rho_1+\rho_2)}\] چون صورت یک مربع است و چگالی‌ها مثبت‌اند، این مقدار همواره نامنفی است. پس \(\rho_3\ge\rho_4\) و تساوی فقط وقتی برقرار است که \(\rho_1=\rho_2\) باشد.